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打家劫舍

题目描述

你是一个专业的小偷,计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金,影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统,如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入,系统会自动报警

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组,计算你在不触动警报装置的情况下,能够偷窃到的最高金额。

示例 1:

输入: [1,2,3,1]
输出: 4
解释: 偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ,然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)。
     偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。

示例 2:

输入: [2,7,9,3,1]
输出: 12
解释: 偷窃 1 号房屋 (金额 = 2), 偷窃 3 号房屋 (金额 = 9),接着偷窃 5 号房屋 (金额 = 1)。
     偷窃到的最高金额 = 2 + 9 + 1 = 12 。

思路

废话不多说,我们直接走动态规划的流程。第一步就是寻找状态转移方程。

再重复一遍,状态转移矩阵是第N项与前若干项之间的关系。

现在我们是一个小偷,站在第i家的屋顶,我们是偷,还是不偷呢?这是个问题。

  • 如果偷,那前面一家(i-1)我就不能偷,我当前偷到的最大值就是偷完前(i-2)家的最大值加上我偷这一家的钱。

  • 如果不偷,我当前偷到的最大值就是偷完前(i-1)加的最大值,然后我就去下一家再看看。

所以状态转移矩阵就可以用如下一个公式表示:

rob(i) = Math.max( rob(i - 2) + currentHouseValue, rob(i - 1) )

第二步是利用状态转移矩阵自底向上求解问题。

我们定义一个数组dp[]dp[i]以第i个元素为结尾的偷窃到的最大金额。求dp[i]时,假设前面dp[0]~dp[i-1]都已经求出来了。

源码

public int rob(int[] nums) {
    if (nums.length == 0) return 0;
    int[] dp = new int[nums.length + 1];
    dp[0] = 0;
    dp[1] = nums[0];
    for (int i = 2; i <= nums.length; i++) {
        dp[i] = Math.max(dp[i-1],dp[i-2] + nums[i-1]);
    }
    return dp[nums.length];}