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二叉查找树

一 定义

二叉查找树(Binary Search Tree),也称有序二叉树(ordered binary tree),排序二叉树(sorted binary tree),是指一棵空树或者具有下列性质的二叉树:

1. 若任意节点的左子树不空,则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值;

2. 若任意节点的右子树不空,则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值;

3. 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。

4. 没有键值相等的节点(no duplicate nodes)。

如下图,这个是普通的二叉树:

在此基础上,加上节点之间的大小关系,就是二叉查找树:

二 实现

在实现中,我们需要定义一个内部类Node,它包含两个分别指向左右节点的Node,一个用于排序的Key,以及该节点包含的值Value,还有一个记录该节点及所有子节点个数的值Number。

public class BinarySearchTreeSymbolTable<TKey, TValue> : 
SymbolTables<TKey, TValue> where TKey : IComparable<TKey>, IEquatable<TValue>
{
    private Node root;
    private class Node
    {
        public Node Left { get; set; }
        public Node Right { get; set; }
        public int Number { get; set; }
        public TKey Key { get; set; }
        public TValue Value { get; set; }

        public Node(TKey key, TValue value, int number)
        {
            this.Key = key;
            this.Value = value;
            this.Number = number;
        }
    }
...
}

查找

查找操作和二分查找类似,将key和节点的key比较,如果小于,那么就在Left Node节点查找,如果大于,则在Right Node节点查找,如果相等,直接返回Value。

 

该方法实现有迭代和递归两种。

递归的方式实现如下:

public override TValue Get(TKey key)
{
   TValue result = default(TValue);    Node node = root;    while (node != null)
   {        if (key.CompareTo(node.Key) > 0)
       {
           node = node.Right;
       }        else if (key.CompareTo(node.Key) < 0)
       {
           node = node.Left;
       }        else        {
           result = node.Value;            break;
       }
   }    return result;
}

迭代的如下:

public TValue Get(TKey key)
{
   return GetValue(root, key);
}

private TValue GetValue(Node root, TKey key)
{
   if (root == null) return default(TValue);
   int cmp = key.CompareTo(root.Key);
   if (cmp > 0) return GetValue(root.Right, key);
   else if (cmp < 0) return GetValue(root.Left, key);
   else return root.Value;
}

插入

插入和查找类似,首先查找有没有和key相同的,如果有,更新;如果没有找到,那么创建新的节点。并更新每个节点的Number值,代码实现如下:

public override void Put(TKey key, TValue value)
{
   root = Put(root, key, value);
}

private Node Put(Node x, TKey key, TValue value)
{
   //如果节点为空,则创建新的节点,并返回
   //否则比较根据大小判断是左节点还是右节点,然后继续查找左子树还是右子树
   //同时更新节点的Number的值
   if (x == null) return new Node(key, value, 1);
   int cmp = key.CompareTo(x.Key);
   if (cmp < 0) x.Left = Put(x.Left, key, value);
   else if (cmp > 0) x.Right = Put(x.Right, key, value);
   else x.Value = value;
   x.Number = Size(x.Left) + Size(x.Right) + 1;
   return x;
}

private int Size(Node node)
{
   if (node == null) return 0;
   else return node.Number;
}

  插入操作图示如下:

下面是插入动画效果:

随机插入形成树的动画如下,可以看到,插入的时候树还是能够保持近似平衡状态:

最大最小值

如下图可以看出,二叉查找树的最大最小值是有规律的:

从图中可以看出,二叉查找树中,最左和最右节点即为最小值和最大值,所以我们只需迭代调用即可。

public override TKey GetMax()
{
   TKey maxItem = default(TKey);    
   Node s = root;    
   while (s.Right != null)
   {
       s = s.Right;
   }
   maxItem = s.Key;  
    return maxItem;
}
public override TKey GetMin()
{
   TKey minItem = default(TKey);  
   Node s = root;  
   while (s.Left != null)
   {
       s = s.Left;
   }
   minItem = s.Key;    
   return minItem;
}

以下是递归的版本:

public TKey GetMaxRecursive()
{    
       return GetMaxRecursive(root);
}

private TKey GetMaxRecursive(Node root)
{    if (root.Right == null)
           return root.Key;  
     return GetMaxRecursive(root.Right);
}

public TKey GetMinRecursive()
{    
       return GetMinRecursive(root);
}

private TKey GetMinRecursive(Node root)
{    
      if (root.Left == null)
       return root.Key;    
      return GetMinRecursive(root.Left);
}

Floor和Ceiling

查找Floor(key)的值就是所有<=key的最大值,相反查找Ceiling的值就是所有>=key的最小值,下图是Floor函数的查找示意图:

以查找Floor为例,我们首先将key和root元素比较,如果key比root的key小,则floor值一定在左子树上;如果比root的key大,则有可能在右子树上,当且仅当其右子树有一个节点的key值要小于等于该key;如果和root的key相等,则floor值就是key。根据以上分析,Floor方法的代码如下,Ceiling方法的代码类似,只需要把符号换一下即可:

public TKey Floor(TKey key)
{    
   Node x = Floor(root, key);    
   if (x != null) return x.Key;    
       else return default(TKey);
}
private Node Floor(Node x, TKey key)
{  
   if (x == null)
      return null;    
   int cmp = key.CompareTo(x.Key);    
   if (cmp == 0)
       return x;    
   if (cmp < 0)
       return Floor(x.Left, key);  
   else {        
     Node right = Floor(x.Right, key);        
   if (right == null)
       return x;        
   else
       return right;
  }
}

删除

删除元素操作在二叉树的操作中应该是比较复杂的。首先来看下比较简单的删除最大最小值得方法。

以删除最小值为例,我们首先找到最小值,及最左边左子树为空的节点,然后返回其右子树作为新的左子树。操作示意图如下:

代码实现如下:

public void DelMin()
{
   root = DelMin(root);
}
private Node DelMin(Node root)
{    
   if (root.Left == null)
        return root.Right;
   root.Left = DelMin(root.Left);
   root.Number = Size(root.Left) + Size(root.Right) + 1;
   return root;
}

删除最大值也是类似。

现在来分析一般情况,假定我们要删除指定key的某一个节点。这个问题的难点在于:删除最大最小值的操作,删除的节点只有1个子节点或者没有子节点,这样比较简单。但是如果删除任意节点,就有可能出现删除的节点有0个,1 个,2个子节点的情况,现在来逐一分析。

当删除的节点没有子节点时,直接将该父节点指向该节点的link设置为null。

 

当删除的节点只有1个子节点时,将该自己点替换为要删除的节点即可。

当删除的节点有2个子节点时,问题就变复杂了。

假设我们删除的节点t具有两个子节点。因为t具有右子节点,所以我们需要找到其右子节点中的最小节点,替换t节点的位置。这里有四个步骤:

1. 保存带删除的节点到临时变量t

2. 将t的右节点的最小节点min(t.right)保存到临时节点x

3. 将x的右节点设置为deleteMin(t.right),该右节点是删除后,所有比x.key最大的节点。

4. 将x的做节点设置为t的左节点。

整个过程如下图:

对应代码如下:

public void Delete(TKey key)
{
   root =Delete(root, key);
       
}

private Node Delete(Node x, TKey key)
{
   int cmp = key.CompareTo(x.Key);
   if (cmp > 0) x.Right = Delete(x.Right, key);
   else if (cmp < 0) x.Left = Delete(x.Left, key);
   else
   {
       if (x.Left == null) return x.Right;
       else if (x.Right == null) return x.Left;
       else
       {
           Node t = x;
           x = GetMinNode(t.Right);
           x.Right = DelMin(t.Right);
           x.Left = t.Left;
       }
   }
   x.Number = Size(x.Left) + Size(x.Right) + 1;
   return x;
}

private Node GetMinNode(Node x)
{
   if (x.Left == null) return x;
   else return GetMinNode(x.Left);
}

以上二叉查找树的删除节点的算法不是完美的,因为随着删除的进行,二叉树会变得不太平衡,下面是动画演示。

三 分析

二叉查找树的运行时间和树的形状有关,树的形状又和插入元素的顺序有关。在最好的情况下,节点完全平衡,从根节点到最底层叶子节点只有lgN个节点。在最差的情况下,根节点到最底层叶子节点会有N各节点。在一般情况下,树的形状和最好的情况接近。

在分析二叉查找树的时候,我们通常会假设插入的元素顺序是随机的。对BST的分析类似与快速排序中的查找:

BST中位于顶部的元素就是快速排序中的第一个划分的元素,该元素左边的元素全部小于该元素,右边的元素均大于该元素。

对于N个不同元素,随机插入的二叉查找树来说,其平均查找/插入的时间复杂度大约为2lnN,这个和快速排序的分析一样,具体的证明方法不再赘述,参照快速排序。

 

四 总结

有了前篇文章 二分查找的分析,对二叉查找树的理解应该比较容易。下面是二叉查找树的时间复杂度:

它和二分查找一样,插入和查找的时间复杂度均为lgN,但是在最坏的情况下仍然会有N的时间复杂度。原因在于插入和删除元素的时候,树没有保持平衡。我们追求的是在最坏的情况下仍然有较好的时间复杂度,这就是后面要讲的平衡查找树的内容了。下文首先讲解平衡查找树的最简单的一种:2-3查找树。